Jeder Körper bewegt sich in der Raumzeit mit der Geschwindigkeit
co =3,0 ·108 km/s. Ein im Raum ruhender
Körper bewegt dabei nur in Richtung der Zeitachse (Richtung w).
Das Bewegungsgesetz für den klassisch am Ort Xo
= (xo, yo, zo) zur Zeit to
ruhenden Körper lautet nun X(t) = (wo+ c·(t-to),
xo, yo, zo), wobei wo
die Zeitkoordinate des Körpers zur Zeit to ist.
Bewegt sich ein Körper klassisch mit der Geschwindigkeit v
= (vx, vy, vz), so hat er in der
Raumzeit die Geschwindigkeit c = (vw, vx,
vy, vz) mit |c| = co bzw.
c² = vw² + vx² + vy² + vz²
= co².
Die Bewegungsrichtung schließt mit der Zeitachse den Winkel α ein
und es gilt sin(α) = |v|/|c|.
Beachte: Die Zeitkomponente der Geschwindigkeit beträgt vw
= c·cos(α); die Eigenzeit verläuft verlangsamt mit t' = t·cos(α)
(vgl. relativistische Zeitdilatation).
Klassisch gilt für die gleichförmige Bewegung X(t) = Xo
+ v·t = (xo, yo, zo) + (vx,
vy, vz)·t = (xo + vx·t,
yo + vy·t, zo + vz·t).
In der Raumzeit gilt X(t) = Xo +
c·t = (wo, xo, yo, zo)
+ (c·cos(α), vx, vy, vz)·t = (wo
+ c·cos(α)·t, xo + vx·t, yo + vy·t,
zo + vz·t) und vx² + vy²
+ vz² = co²·sin²(α).
In der Raumzeit befindet er sich dann zur Zeit to am
Ort Xo = (wo, xo,
yo, zo), bewegt sich mit der Geschwindigkeit
vo = (c, 0, 0, 0) und wird mit a
= (0, a, 0, 0) beschleunigt. Die x-Komponente der Geschwindigkeit
ändert sich laufend, es gilt vx(t) = a·(t-to).
Die Bewegungsrichtung schließt mit der Zeitachse den vom Parameter
t abhängigen Winkel α(t) mit sin α(t) = |vx(t)|/c =
a·(t-to)/c, sie ändert sich mit der
Winkelgeschwindigkeit ω = a/c.
Zur Zeit t hat er die Geschwindigkeit v(t) = (c·cos(ω·(t-to)),
c·sin(ω·(t-to)), 0, 0) und befindet sich am Ort X(t)
= (wo + c·(t-to) - c/ω·sin(ω·(t-to)),
xo + c/ω·cos(ω·(t-to)), yo,
zo).
Betrachten wir nun einen Körper, der sich klassisch zur Zeit to
am Ort Xo =(xo, yo
zo) befindet, sich mit der Geschwindigkeit vo
= (vxo, vyo, vzo) bewegt
und mit einer konstanten Beschleunigung vom Betrag a in x-Richtung
beschleunigt wird.
Zur Zeit t hat er dann die Geschwindigkeit v(t) = (vxo
+ a·(t-to), vyo, vzo) und
befindet sich am Ort X(t) = (xo + vxo·(t-to)
+½·a·(t-to)², yo + vyo·(t-to),
zo + vzo·(t-to) ).
In der Raumzeit befindet er sich zur Zeit to am Ort Xo
= (wo, xo, yo, zo),
bewegt sich mit der Geschwindigkeit vo =
(c, vxo, vyo, vzo) und wird mit a
= (0, a, 0, 0) beschleunigt.
Zur Zeit t hat er die Geschwindigkeit v(t) = (c·cos(ω·(t-to)),
vxo + c·sin(ω·(t-to)), vyo, vzo)
und befindet sich am Ort X(t) = (wo + c·(t-to)
- c/ω·sin(ω·(t-to)), xo + vx·(t-to)
+ c/ω·cos(ω·(t-to)), yo + vy·(t-to),
zo + vz·(t-to)).
Die gleichförmige Beschleunigung - gleichgültig ob in oder
senkrecht zur Bewegungsrichtung - führt in der Raumzeit zu einer
Kreis- bzw. Spiralbewegung mit Radius r = c/ω = c²/a. Da sich der
Winkel zwischen Beschleunigung a und Bewegungsrichtung v
laufend (mit ω = a/c) ändert, ist die klassisch gleichförmige
Beschleunigung in der Raumzeit (streng genommen) nicht
gleichförmig.
Die in der Raumzeit gleichförmige Beschleunigung und die
Beschleunigung in Bewegungs- bzw. Zeitrichtung wird hier nicht
betrachtet. Eine Beschleunigung in der Bewegungsrichtung in der
Raumzeit ist nicht möglich; sie würde die Geschwindigkeit auf v
> co beschleunigen.
Bei der klassischen Kreisbewegung wirkt auf einen sich mit der
Geschwindigkeit v bewegenden Punkt eine betraglich konstante
Beschleunigung a stets senkrecht zur Bewegungsrichtung - die
Bewegungsrichtung und die Richtung der Beschleunigung ändern sich
laufend mit der Winkelgeschwindigkeit ω = a/v. Der Kreisbahnradius
beträgt dabei r = v²/a.
Die Beschleunigung a zeigt dabei stets zum Bahnmittelpunkt. Es
gilt a ⊥ v, r ⊥ v und a ∥ r.
In der Raumzeit bewegt sich dabei der Mittelpunkt mit annähernd
Lichtgeschwindigkeit vw ≈ co in
Zeitrichtung. Exakt gilt vw =
.
Wir betrachten nun einen Punkt, der sich klassisch zur Zeit to
am Ort Xo = (xo, yo,
zo) befindet, sich in x-Richtung mit der
Geschwindigkeit vo = (v, 0, 0) bewegt
und in y-Richtung mit ao = (0, -a, 0)
beschleunigt wird.
Zur Zeit t befindet er sich dann am Ort X(t) = (xo,
yo, zo) + r·(sin(ω·(t-to)),
cos(ω·(t-to)) -1, 0), hat die Geschwindigkeit v(t)
= v·(cos(ω·(t-to)), -sin(ω·(t-to)),
0) und auf ihn wirkt die Beschleunigung a = -a·(sin(ω·(t-to)),
cos(ω·(t-to)), 0), wobei r = v²/a und
ω = a/v gilt. Der Kreismittelpunkt liegt bei M = (xo,
yo-r, zo).
In der Raumzeit befindet er sich zur Zeit to am Ort Xo
= (wo, xo, yo, zo),
bewegt sich mit der Geschwindigkeit vo =
(vw, v, 0, 0) und wird mit ao
= (0, 0, -a, 0) beschleunigt. Hierbei ist vw =
Zur Zeit t befindet er sich dann am Ort X(t) = (wo
,xo, yo, zo) + (vw·(t-to),
0, 0, 0) + r·(0, sin(ω·(t-to)), cos(ω·(t-to))
-1, 0), hat die Geschwindigkeit v(t) = (vw, v·cos(ω·(t-to)),
-v·sin(ω·(t-to)), 0) und auf ihn wirkt
die Beschleunigung a = -a·(sin(ω·(t-to)),
cos(ω·(t-to)), 0), wobei r = v²/a und
ω = a/v gilt. Der Kreis wird zu einer Spirale und der
"Mittelpunkt" liegt bei M = (wo + vw·(t-to),
xo, yo-r, zo).
Autor : Wolfgang Gösser, (Galileum Solingen), Walter-Horn-Weg 1, 42697 Solingen.
Kontakt: wolfgang@goesser.net.
Stand : 09.12.2025